作者：福建省厦门第六中学 周晟

1 建模能力赛

1.1 比赛简介

数学建模（下简称数模）赛事向来在国内备受欢迎，而本人有幸参加全国青少年科学探究建模能力大赛中的建模能力总决赛分赛项（笔者偏好将其称为京师数学建模或建模能力赛）。从北京回来笔者总有些想法，于是就有了这篇短文。该文章主要围绕京师数学建模赛事，对数学建模与比赛进行简述。文章由参赛经验与数学建模绪论两部分组成。

现就该赛事进行简短的概述¹：

2025年10月29日，教育部办公厅公布《2025—2028学年面向中小学生的全国性竞赛活动名单》（俗称“白名单”）²，确定全国青少年人工智能创新挑战赛等47项竞赛活动为2025—2028学年面向中小学生的全国性竞赛活动，其中北京师范大学为《全国青少年科学探究建模能力大赛》的主办单位，这也是首次由我校作为主办单位的赛事进入教育部白名单。该赛事由科学探究能力赛、建模能力赛以及应用实践能力赛三个赛项组成，数学建模教育中心负责了“建模能力赛“部分的组织策划工作，这一赛项的前身是我院数学建模教育中心主办的“高中数学建模（应用）能力展示”活动。

该赛项有初赛、复赛、决赛三个环节，初赛为线上选择题考试，复赛提交自选命题的研究论文，决赛有能力测试与论文答辩两个环节。笔者在初赛取得三等奖的成绩，复赛中取得省一等奖的成绩，最终在决赛中取得国二等奖的佳绩。

我个人对于该赛事的评价如下：初赛与决赛的能力测试是相当具有创新性的。而复赛的论文提交是自选命题的，因此选手在完成课题时的自由度很高，可以选择生活中的问题开展数学建模活动。但若将传统数模比赛中命题论文的思路直接套用，显然是不可行的。如若有参加过科技创新大赛的读者，可复用参加科创比赛的方法来参加该赛项。后者的方式是更适合该赛项的。

1.2 什么是数学建模？

关于数学建模乃至数学上的定义，不同人的答案是不同的。我个人更倾向于将数学建模解释为“使用数学的语言来解释现实中的问题”这一过程。而要进一步解释“数学建模”这一过程，必须对数学这一名词进行定义。

如若从普通高中数学课程标准³中对数学的定义出发，即“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学”，似乎有些不尽人意。对于数学的解释，我最敬佩的是梁贯成教授给出的定义：数学并不是一门科学（注：后经问答环节的补充，此处的“科学”应指“自然科学”），数学在其本质上与自然科学有根本上的不同。
（后注：学术上普遍将数学学科归类为“形式科学”，自然科学如物理、生物这类学科归类为“实证科学”，感兴趣的读者可自行查阅）

与自然科学的研究流程不同，数学并非遵循“观察->假设->设计（方案/实验）->结论”的流程，并且研究对象不是物质世界上的现象与规律，而是“理想“上存在的东西，譬如无法在现实中找到真正的圆，或真正的无穷大。因此数学能够在不同文化甚至跨越物种间进行交流（例：寄向外太空的“盘子”中有与数学有关的内容）。

从“理念”中的数学出发，对现实进行描述的过程，即为数学建模。例如物理中对单摆运动的近似估计\lim_{\theta \to 0}\sin{\theta} = \theta（\sin{x}与x是等价无穷小，在\theta足够小时（如\theta < 5 \degree）可被近似为\theta，从而完成单摆运动的模型建立），或如生物中物种增长的Logistic模型（在高中生物中被描述为S型曲线，我认为仅给图像而不作模型地解释是不合理的）。而建模的过程正如自然科学的研究流程。由此，数学建模是将数学与现实联系的桥梁。

1.3 数学建模的学习路线

数学建模活动的开展，一般是在大学时期进行的，而现在高中与初中也得以机会参与其中。由于初中的知识面较窄，因此面向初中的数学建模活动一般较少。而面向高中的数学建模活动一般为命题式的比赛，自由选题的比赛甚少。初升高后，数学的知识面会进一步扩宽，但仅凭高中的数学知识完成数学建模活动几乎不可能，虽在建模活动中边学边做的方式是普遍的，但学习预备知识也是相当重要的。

我曾荣幸的听取过陈木法院士的讲座，在讲座中他提到他一生的学问都是自学来的。我想数学建模中自学也是相当重要的，不论是通过网络视频还是阅读纸质书籍。由上我推荐以下的数学建模相关书籍：

• 数学建模（原书第5版）
  作者: [美] Frank R. Giordano / [美] William P.Fox / [美] Steven B.Horton
  译者: 叶其孝 / 姜启源
  出版社: 机械工业出版社
  个人评价：除去出版社翻译上的问题，这本书是数学建模入门的绝佳书籍。除微分方程外其他部分零基础也可以上手。

• 数学模型（第五版）
  作者：姜启源、谢金星、叶俊
  出版社：高等教育出版社
  个人评价：该书对于入门的学生较不适合，需有一定的预备知识基础才能读懂，这也是国内教材共有的通病。此外该书给出的一些例子与习题是很有启发性的。

此外由于其他书籍不具有代表性或不适合自学，所以笔者没有列出。对于大学数学中的内容（如高等数学与概率论），不必太过于超前学习。因为数学建模本身是应用的过程，对于数学上的原理不必太过深究。
譬如运用到学生T检验中检验两组实验数据是否存在显著差异的方法时，若要深究其在大样本量下仍能成立的原理须从中心极限定理开始：

Lindeberg–Lévy 中心极限定理
设随机变量 X_1, X_2, \dots, X_n 独立同分布， 且具有期望 \mu 和有限的方差 \sigma^2 \ne 0，
记 \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i+1}^n X_i，则
\lim_{n \to \infty} P \left(\frac{\sqrt{n} \left( \bar{X}_n - \mu \right)}{\sigma} \le z \right) = \Phi(z),
其中 \Phi(z) 是标准正态分布的分布函数。

这对于读者的学习而言，难度显然过高。

1.4 建模能力赛中的能力测试

建模能力赛分中的能力测试包含在其初赛与决赛，初赛能力测试为线上选择题答题，决赛能力测试考察方式为填空与解答题。建模能力赛的复赛论文提交中，小组所有成员须有初赛成绩，且有一成员初赛成绩过线（优秀奖及以上）即可。

对于初赛的测试题，笔者经网络简单搜索无法直接查找到相关资料，决赛测试题同理。网络上流传的试题一般为回忆版，因此依赖刷题提升成绩这一路径是不可行的。初赛与决赛的试题与高考试题命题风格完全不同，其考察的均为现实情境下的数学问题。

• 解答这类问题首先必须要有扎实的高中数学基础，例如排列组合知识与数列知识；
• 其次才是需要提前学习一些课外的数学建模知识：初赛试题中对比例型建模与Logistic模型的考察恰能说明此点，但在决赛能力测试题中反而无需过深掌握课外建模知识；
• 最后考试的形式仍然是计时封闭考试，因此考试策略的选择也同日常考试同理：笔者在决赛考试时由于没有时钟无法控制作答时间，因此对于略显复杂的题目（看上去计算量大的题目）都先暂时跳过，而笔者的搭档则是采用每题都做的策略完成考试。

决赛测试题的考察面较广，例如计算机图像处理（CV）与组合排列内容，因此对于测试题“提分”的方法笔者无法回答。

1.5 建模能力赛中的研究选题与论文写作

建模能力赛的复赛与决赛分别包含论文提交与论文答辩，而撰写研究论文这一步骤是极为关键的。小组是否有资格参加决赛取决于复赛提交的论文评审结果。论文以PDF格式进行提交，研究论文应包含研究的背景、方法、结果与评价。在数学建模中即为问题重述、模型假设、模型建立（求解）、模型检验与模型评价。

研究的选题是重中之重：一个好的选题应是贴近中学生学习生活、有家国情怀并且适合使用数学建模来解决的，同样的，决赛现场的组委会汇报中对选题方面做了重点强调。

对于研究的选题，笔者的个人经验如下：笔者观察到有很多人将此前命题数模比赛的研究论文直接提交，或是选择已有大量研究的方向。这也就导致了选题不够新颖，创新性不够强。一个良好的选题应是基于充分的文献调研的：你的选题不是对前人做过的东西的简单复述，而是在批判性思维的基础上，进一步发展前人的理论与实践。

对于文献调研，建议先充分了解怎么查阅文献与研读文献（例如检索式的使用与渐进式阅读文献的方法），我个人建议也要学会如何撰写开题报告，并且参考查新报告的格式规范对自身选题进行充分的调研总结。国内常见的文献查阅有中国知网、维普和万方，国外则有Google Scholar、Science Direct、Web of Science等。充分的文献调查能够为你的建模与写作提供夯实的基础。

对于论文写作，笔者认为有两个部分值得注意：

1. 第一是论文写作的语言与方法，多数人在初步上手论文写作时常常难以写出较高的水平，如将论文视为作文进行写作。笔者认为提升论文写作要多看多写，研读学术论文，找老师或同学点评你写的论文。经验的积累需要时间的积淀（我目前累计的论文写作字数约为3万字）；
2. 第二是论文写作的格式与排版：在决赛中组委会同样强调论文格式排版的重要性。我个人在进行论文写作时已由Microsoft Word更换为\TeX，主要原因在于\TeX的写作模板多且开箱即用，无需操心排版的问题。论文的格式与排版是要在日常写作中学习的。

对于Word撰写论文，笔者的建议如下：由于Word具有开箱即用的特性，一些复杂的排版功能很少人会知道，除非有额外的学习，例如换页符的使用与样式的使用。因此若使用Word撰写论文，笔者建议先系统性地学习Word的格式与排版。

对于\TeX（或称\LaTeX）文档编辑的学习，笔者的建议如下：

1. 对文档编写软件的熟悉不是靠“学出来”的，而是靠“做出来”的：与其学习\TeX所有常用数学符号的记法或插入图片/插入表格的格式，不如尝试用\TeX直接写作，遇到需要学习的地方时自然会熟练（Word同理）；
2. 善用语言大模型（属于AI技术中的一种）：大模型在修复\TeX报错、提供格式建议等方面上能够大幅度节省时间，因此在语言大模型时代下学习\TeX的成本并不唬人；
3. 使用\TeX推荐本地部署而非使用在线工具，如Overleaf（由于有编译时间与次数的限制，实际体验不会太好）。如有在线协作的需求，可考虑其他平替Overleaf的平台，如中国科学院的\LaTeX写作平台⁴（对于新手而言，中科院的写作平台会更友好）。

论文的写作是复杂且漫长的，除了多练别无他法。

1.6 参加比赛能带来什么？

数学建模竞赛是一项课外活动，对于目前的高考而言无法提供直接的帮助（例：高考加分，提前招生）。对于我们学校的学生而言，我们有足够的时间与条件来参加这些看似”无用“的课外活动。而我个人认为，参加这些比赛的目的不在于拿了什么样的奖项（虽然我们也相当在意这一点），而是从参赛过程中收益，发展自身的兴趣爱好，丰富枯燥无聊的高中生活。

比赛的好处一时半会是无法完全显现的，但我相信你在比赛的过程中能够比其他人获得更多独特的体验。并且在比赛的过程中学习到的内容，与其实践的过程能够受用终生，这也就是“一次参赛，受益终生”⁵。

2 数学建模绪论

由于本文主要面向未接触数模的读者，因此该部分更像某些书籍或论文中的”绪论“部分。若想深入学习数模知识，笔者建议阅读上述所推荐的书籍。

数学模型是数学与现实的桥梁，建立数学模型的过程形如自然科学的研究过程：数学建模是对一个系统的数学解释，我们需要经历“观察->假设->建模->解释”的过程，这个建模的过程远比建模得来的结果重要。现就该过程，结合笔者浅陋的见解进行简要论述：

2.1.1 观察

一切数学模型都是观察一个系统的现象而建立得来的。或者说，经验模型的建立依赖于对现实世界的观察。而观察的下一步我个人认为是猜测，对变量之间的关系进行猜测。而这种猜测会在最后的模型验证（模型解释）环节中得以检验。

2.1.2 假设

由于对现实系统的完整还原是不现实的，因此须对现实的系统（或称原型）进行假设得到模型。原型与模型之间的关系恰如照片与简笔画，照片是不经简化的原型，而简笔画是经过简化得来的模型。

假设不同会带来结论的不同，而且影响是极大的，下举一例用于说明：

现有两个医生与其接诊的病人，如何评价这两个医生的手术水平（医术）高低？

一个显然的思路是比较这两名医生手术的死亡率，但隐藏在这个思路的背后是一个不符现实的假设，我们从这个隐藏假设出发论证该模型是不合理：

隐藏的模型假设：两名医生接诊的病人病情是均匀分布的，类似于“随机分层抽样”的情况，两名医生接诊的病人中病情危重与病情良好比例是近似的。

而这个假设在大多数情况下是严重不符现实的：带入现实生活中，我们记两名医生分别为甲与乙，甲的医术较好，乙的医术较差，并且甲的手术死亡率高于乙。若有病人病情危急，由于甲的医术较好，因此会选择医生甲。由上医生甲接诊的病人大多危急，而医生乙接诊的病人大多良好，虽甲的医术比乙好，但由于接诊的病人病情不是均匀分布的，所以甲接诊的病人死亡率会高于乙。若用上述模型解释，由于乙的手术死亡率低于甲，因此乙的“手术水平”比甲好，而该结论显然不符现实。\Box

建立模型的过程往往包括对模型自身的修正，我们可以进一步修正原来的模型：

我们对模型进行假设：医生的手术死亡率取决于其医术水平与病人病情分布，若要评价医术水平，则可由手术死亡率与病人病情分布得出。

这个模型显然更加复杂，但能够更好的刻画现实中的系统，并且揭示了多个变量之间的内在关系。对于该模型的建立与解释，此处留作习题供者思考。

对于模型的假设，不能仅基于现实中的生活经验，适当查阅文献了解也是很有必要的。

2.1.3 建模

由上述的模型假设，我们得到变量之间的关系。由这些关系我们即可进行建模。在此我举一例：

问题重述：种群的增长具有一定的规律，能否建立模型，对种群的增长进行预测？

该问题在高二选择性必修的生物学中也有所提及，在此我以初等的方式进行建模：

模型假设：种群所拥有的资源是无限的，并且不存在种群内的竞争。并且种群内生物的数量增长呈指数爆炸级增长
（记正数数列\{ a_n \}，若后项a_{n+1}与前项a_{n}的比值\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=c,c>1,n\ge 1，即后项是前项的c倍，则我们将这种增长称为指数爆炸级增长，其对应的函数解析式为f(x)=a_{0}c^x，也可写作y=a_{0}c^x）

这个假设同样是不完全符合现实实际的，但在现实中某些情况可作以上假设。

模型建立：记生物的初始数量为N_0，由假设可知第n次增长是前n-1次生物数量的K倍，且K>1。我们记第n次增长后总种群内生物数量为a_n，n\ge 1，a_1表示初始生物数量，即a_1=N_0，则我们可以得到：
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=K,K>1,n\ge1
显然，由于：
a_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \frac{a_{n-2}}{a_{n-3}} \cdots \frac{a_3}{a_2}\cdot \frac{a_2}{a_1}\cdot a_1=K^{n-1} \cdot a_1=N_0 \cdot K^{n-1}
我们即可得到a_n=N_0 \cdot K^{n-1}.

上述模型即马尔萨斯模型，由于该模型较为简单，故不作模型解释。\Box

若读者已自学常微分方程相关的知识，则我们还可以对这个模型进行改进⁶（此部分参考了相关书籍的做法）：

连续情况下的模型建立：我们记时间为t，微小的时间间隔为\Delta t，经过\Delta t后新的生物数量P(t+\Delta t)为原先P(t)数量加上时间\Delta t内新出生的生物减去死亡的生物，记某一时间t_0下P(t_0)=N_0,则我们可以得到以下方程：
P(t+\Delta t)=P(t)+kP(t)\Delta t

移项可得：
\frac{P(t+\Delta t)-P(t)}{\Delta t}=kP(t)

取微小的时间间隔\Delta t \to 0^+，则可得到
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=kP

也可写作P'(t)=kP(t)，解该方程需将变量分离并两边积分，得：
\ln{P}=kt+C
两边取指数变形得到：
P=\mathrm{e}^{kt+C}
带入P(t_0)=N_0可得C=\ln{N_0}-kt_{0},即可得到：
\boxed{P(t)=\mathrm{e}^{k(t-t_0)+\ln{N_0}}}. \quad \Box

2.1.4 解释

建立后的模型需要服务于其建模的目的，例如预测这个系统中某指标的大小或得出图中两端点的最短路径。解释的过程也伴随着模型检验。例如机器学习模型预测手写数字图像，为检验其模型的好坏，可将数据集分为训练集与测试集，进而通过测试得出模型好坏的指标。

3 参考内容